la esperanza - una gran virtud (del diario de Chiara 1967)

3 / 3 /1967

Sto scoprendo che la "speranza" è una grande virtù. Perché alle volte non siamo pienamente lieti? Perché ci offuscano i dolori, le lacrime, i dispiaceri? Perché ci manca la "speranza" che, a pensarci bene ...

... e dando uno sguardo seppur fuggitivo e panoramico al Vangelo, sembra lo stile - come direbbe Paolo VI - di esso, nell'attesa fiduciosa (speranza) delle divine promesse di cui il Vangelo è tesoriere.
Per rinnovare la nostra vita cristiana, per darle il limpido sorriso dei bambini evangelici, abbiamo ora bisogno di questa virtù, vissuta con perseveranza. Il Dio della speranza! Sì, è proprio così, il vero, unico Dio "vi ricolmi di ogni gaudio e pace": le due cose che mancano al mondo: il dono che il focolarino deve fargli.

Una virtud esencial, para la unidad con Dios y con el prójimo

San Pablo lo indica en sus cartas cuando anima a los cristianos a amarse recíprocamente para edificar la unidad.

“La virtud que une el alma a Dios –continúan los apuntes- …es la humildad, la anulación de uno mismo. La mínima pizca de lo humano que no se deje asumir por lo divino, rompe la unidad con graves consecuencias. La unidad del alma con Dios, que vive en ella, presupone la anulación total, la humildad más heroica…

La unidad con las demás almas se alcanza, además, por medio de la humildad: aspirar constantemente al “primado” poniéndose lo más posible a servir al prójimo.

Cualquier alma que quiera realizar la unidad debe tener un solo derecho: servir a todos porque en todos sirve a Dios…

Como dice San Pablo: “siendo libre de todos, me he hecho esclavo de todos para ganar a los más que pueda” (1Co 9, 19). El alma que quiera llevar la unidad debe mantenerse constantemente en un abismo de humildad capaz de perder, a favor y al servicio de Dios en el prójimo, hasta su alma.

No vuelve a entrar en sí misma si no es para encontrarse con Dios y rezar por los hermanos y por ella misma.

Vive constantemente “vacía” porque está totalmente “enamorada” de la voluntad de Dios… Enamorada de la voluntad del prójimo, al que quiere servir por Dios. Un siervo no hace más que lo que el patrón manda.”

“Si todos los hombres, o por lo menos un grupo de hombres, aunque sea exiguo, fuesen verdaderos siervos de Dios en el “prójimo”, pronto el mundo sería de Cristo”.

Chiara Lubich

(de unos apuntes del 1946, en el libro “La Unidad y Jesús Abandonado”)

Nuestro programa: La Unidad

“El alma, por encima de cualquier otra cosa, tiene que dirigir la mirada al único Padre de muchos hijos. Después, mirar a todas las criaturas como hijas del único Padre. Superar siempre, con el pensamiento y con el afecto del corazón, cualquier límite que imponga la vida humana y aspirar constantemente y por hábito a la fraternidad universal en un solo Padre: Dios”.

“Jesús, modelo nuestro, nos enseñó sólo dos cosas, que son una: a ser hijos de un solo Padre y a ser hermanos los unos de los otros”.

Chiara Lubich

(de un escrito del 1946, en el libro “La Unidad y Jesús Abandonado)

Hallan un diminuto microbio bajo tres kilómetros de hielo

Los científicos acaban de descubrir un minúsculo microbio que ha permanecido congelado durante 120.000 años bajo tres kilómetros de hielo en Groenlandia y a 56ºC bajo cero. El hallazgo abre nuevas vías para estudiar las posibles formas de vida en otros planetas.

Jennifer Loveland-Curtze y un equipo de científicos de la Universidad Estatal de Pennsylvania (EEUU) fueron los autores del descubrimiento de la nueva bacteria, que ha sido nombrada 'Herminiimonas glaciei', según informan en la revista International Journal of Systematic and Evolutionary Microbiology.

Con mucha paciencia, el equipo logró devolverle la vida al microbio: primero incubaron sus muestras a 2ºC durante siete meses y luego a 5ºC durante otros cuatro meses y medio, después de lo cual aparecieron colonias de minúsculas bacterias violáceas.

'H. glaciei' es pequeña incluso entre las bacterias: mide entre 10 y 50 veces menos que 'E. coli', una de las bacterias más estudiadas y presente en el intestino animal. Ese tamaño pequeño fue probablemente lo que le ayudó a sobrevivir en las venas líquidas presentes entre los cristales de hielo y la fina película líquida de la superficie. Los microorganismos con tamaños tan diminutos se consideran más eficientes a la hora de absorber nutrientes y protegerse frente a los depredadores.

La mayoría de la vida en nuestro planeta ha consistido siempre en microorganismos, por lo que los científicos consideran lógico que esto pueda ser así también en otros planetas. El estudio de microbios que viven en condiciones extremas en la Tierra (extremófilos) puede dar pistas sobre qué formas de vida son más probables en el Sistema Solar.

"Estos ambientes tan extremadamente fríos son el mejor ejemplo de lo que podrían ser los hábitats extraterrestres", dice Loveland-Curtze. "Temperaturas tan bajas permiten preservar las células y los ácidos nucleicos durante millones de años. 'H. glaciei' es la única microbacteria entre las que se han descrito que procede del hielo de Groenlandia. Estudiar a estas bacterias puede aportar nuevas claves sobre cómo sobreviven e incluso crecen las células bajo condiciones extremadamente duras, como temperaturas de -56ºC, poco oxígeno, escasos nutrientes, altas presiones y un espacio limitado".

¿De qué están hechas las estrellas?

evolución y fusión final entre enana blanca de helio y el núcleo de un a gigante roja

Las estrellas 'R' son un tipo de astros gigantes y rojos (debido a que tienen una mayor cantidad de carbono que de oxígeno). Hasta ahora se clasificaban a su vez en R-frías o R-calientes en función de su temperatura efectiva.

El misterio de las estrellas R es la procedencia del carbono que forma parte de su estructura. Saber cómo se produce este elemento puede servir para encontrar el origen de la vida. "¿De dónde viene?", debieron de preguntarse los científicos de la Universidad de Granada. Y se pusieron a investigar.

Determinaron la composición química de una muestra de 23 estrellasde tipo R (frías y calientes) mediante espectros en el óptico con alta resolución espectral. Y se valieron del telescopio de 2,2 metros de diámetro de Calar Alto (Almería).

Analizaron la presencia de carbono, oxígeno, nitrógeno, litio y otros metales pesados como el tecnecio, el estroncio, el bario y el lantano. Y estudiaron las propiedades fundamentales de las estrellas 'R': distribución en la Vía Láctea, cinemática, luminosidad...

Una de las conclusiones a las que han llegado es que las R-frías con idénticas a las estrellas de tipo N (o estrellas de carbono normales), mientras que las R-calientes son estrellas de distinta clase. Otra conclusión es que alrededor del 40 por ciento de las estrellas que hasta la fecha se consideraban como R-calientes no lo son.

Además, los científicos simularon numéricamente por primera vez el escenario más favorable para la formación de una estrella R-caliente: la fusión de una estrella enana blanca de helio con una estrella gigante roja. Finalmente, no resultó viable, por lo que hallar el origen de las estrellas R-calientes sigue siendo un desafío.

La investigación realizada en el departamento de Física Teórica y del Cosmos de la Universidad de Granada sobre las estrellas de tipo R es la más completa hasta la fecha. Los resultados de esta investigación van a ser enviados para su próxima publicación en la revista 'Astronomy & Astrophysics'.

clasificación estelar

CH Junio 2009

Conexión CH - Rocca di Papa, 13 de junio 2009

La escucha[1]

[…]

Últimamente, cuando cuento algo de nuestro Movimiento en los países que he visitado, siempre explico que, desde los inicios, todo el que nos conocía no se encontraba sólo con un Movimiento, una comunidad o una corriente espiritual… Se encontraba con Jesús. Y esto sucedía porque nuestras experiencias evangélicas nos habían convencido y convencían a muchos de que Jesús seguía manteniendo sus promesas hoy, y por eso exclamaban: «Jesús está vivo».

Hoy quiero añadir: porque Él estaba realmente en medio de nosotros.

¡Jesús en medio de nosotros! Llevamos ya unos meses hablando de Él y comprometiéndonos a vivir de tal manera que no lo perdamos nunca, sino que lo generemos siempre, una y otra vez, entre nosotros, como dice Pablo VI.

Últimamente he subrayado la grandeza de María como madre de Dios. He dicho lo divinamente maravilloso que es que, así como el Padre llama en la Trinidad Hijo al Verbo, también María llame Hijo al Verbo encarnado.

Ahora me parece que no es un error decir que Jesús en medio de nosotros es hijo de nuestro amor recíproco, es decir, nuestro, porque así es.

¿Acaso no dijo un día Jesús que quien hace la voluntad de Dios es su hermano, su hermana y su madre? (cf. Mt 12, 47). Así pues, también nosotros podemos ser, en cierto modo, su madre. Pero con una condición: que nos amemos como es debido.

La última vez nos comprometimos a un «hacernos uno» recíproco más profundo.

¿Con qué efecto?

Lo he visto más de una vez durante este mes. Ante nuestro amor, que no quiere limitarse a «estar dispuesto a dar la vida» por el hermano, sino a «morir» en serio, a «no ser» para ser, para ser amor, hay quien ha afirmado que ha admirado en las personas del Movimiento una gran «escucha». «Saben escuchar». «Escuchan».

Es un nuevo comentario a este modo de amar, un modo que atrae mucho, especialmente hoy, en estos tiempos.

En un mundo tan tumultuoso, agobiado por tantos ruidos, por tantas voces, por tanta charlatanería, la gente necesita que la escuchen, que quiere decir que la amen en serio.

Así pues, perfeccionemos en los próximos meses esta actitud tan mariana. Prometámonos: hoy escucharé mejor a cada prójimo. Sin duda tendremos la presencia de Jesús en medio de nosotros.

Chiara Lubich

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[1] Del pensamiento de Chiara de la conexión “La escucha”, Rocca di Papa, 17-6-1999: Construir el castillo exterior, pp. 87-90.

quizás las fórmulas más bellas

Uno de los aspectos más importantes de la matemática es el arte de escoger la notación adecuada. Y como casi siempre que la funcionalidad se alcanza con brillantez la belleza acaba apareciendo. La quinta esencia de este concepto reside en las fórmulas.

Lo que más llama la atención de esta fórmula es lo aparentemente heterogéneo de sus dos miembros, pues mientras que en el izquierdo solo aparecen unidades imaginarias, en el derecho tan solo aparecen números reales.

La sorpresa que ofrece la igualdad es, precisamente, que el número i, cuando es elevado a sí mismo, dé como resultado un número real. Que dicho número esté expresado en función del número e y el número π ya es puro alarde.

Euler obtuvo esta fórmula como consecuencia de su cálculo del logaritmo de un número complejo más o menos así: como la unidad imaginaria tiene módulo r =1 y argumento θ = π/2, tomando logaritmos se tiene:

La fórmula de la izquierda no es cierta siempre, claro.

Una condición suficiente es que los tres ángulos sumen 180º, como es el caso, por ejemplo, de los ángulos de un triángulo cualquiera.

Su simetría es asombrosa. Yo diría que hasta desconcertante.

La demostración es muy sencilla: basta aplicar la fórmula de la tangente de la suma.

La fórmulita de la izquierda es la ecuación de ondas de Schrödinger para una partícula de energía total E, moviéndose en una dimensión x, en una región de potencial V, siendo m la masa de la partícula y ψ la amplitud de probabilidad.

La ecuación de ondas describe la probabilidad de que un electrón esté en una determinada posición. Como ocurre con otras muchas ecuaciones diferenciales, no se puede resolver de modo exacto salvo en determinadas situaciones (el propio Schrödinger la resolvió para el átomo de hidrógeno). Sin embargo, sí que puede ser resuelta con gran precisión mediante aproximaciones numéricas.

Lo asombroso es que funciona.

En notación moderna esta es la forma que toma el teorema binomial para n natural. Descubierto en China en el siglo XII, sería conocido en Europa a mediados del siglo XVII gracias a un trabajo póstumo de Pascal.

Newton lo generalizaría para exponentes negativos y fraccionarios (mediante series infinitas), razón esta por la que se le asocia el nombre de Newton. Leibniz, que nunca está lejos, fue más allá generalizando el teorema binomial en el multinomial.

Una forma de evitar tener que calcular uno a uno todos los coeficientes es utilizar el mal llamado Triángulo de Pascal, pues los coeficientes de la potencia n aparecen en la fila n+1 de dicho triángulo. Un ejemplo: aplicando la fórmula y la definición de número combinatorio tendríamos:

(a + b)³ = 1·a³ + 3·a²b + 3·ab² + 1·b³.

Pero hubiese sido más rápido ir a la fila 3 + 1 del triángulo de Pascal y ver que los números que aparecen son, precisamente, los coeficientes 1, 3, 3 y 1.

Los hermanos Chudnovsky son famosos por haber desarrollado algoritmos que les han permitido calcular miles de millones de decimales del número π.

Esta fórmula desarrollada por ellos: "Es del estilo de la de Ramanujan, pero si la de él en cada paso sacaba 7 decimales exactos de Pi, con esta sacamos 14".

Yo no la he probado, pero la he encontrado en el libro The Joy of π, página 71. Allí aparece también las siguientes citas:

• "Explorar pi es como explorar el universo". David Chudnovsky.
• "Es más como hacer exploración submarina. Tú estás en el fango y todo parece lo mismo". Gregory Chudnovsky.

Pocas fórmulas hay tan famosas como esta. Ni tan influyentes. Obtenida por Albert Einstein hace ya más de cien años (como pasa el tiempo), es por un lado el símbolo del ataque y derribo a la mecánica newtoniana que supuso la teoría de la relatividad.

Por otro, es la receta de la fuente de energía más potente y devastadora de cuantas hemos desarrollado hasta ahora: la energía nuclear.

Su significado físico queda más patente si elegimos las unidades de modo que la velocidad de la luz sea 1, es decir, una unidad de espacio por unidad de tiempo. En tales circunstancias, la fórmula se simplifica y queda: E = m, es decir, que la energía y la masa son equivalentes.

Casi nada.

Tenemos el número e, trascendente; el número π, también trascendente; y la raíz cuadrada de 163, que es irracional.

Sin embargo, el resultado está extraordinariamente cerca de un número entero. Otro hallazgo de Ramanujan.

La siguiente identidad: 100=1³+2³+3³+4³.

Se trata de un caso particular de la estupenda fórmula que se ve a la izquierda, y que expresada mediante sumatorios es:

.

Se demuestra fácilmente por inducción y se debe a Nicomaco, que la dedujo de la fórmula de Pitágoras acerca de la suma de los n primeros impares y de la siguiente observación:

• 1 = 1³
• 3 + 5 = 2³
• 7 + 9 +11 = 3³
• 13 + 15 + 17 + 19 = 4³

En todo poliedro convexo, el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras es igual a dos.

Esta fórmula, debida a Euler, muestra un invariante algebraico asociado a un espacio topológico (lo cual quiere decir que se mantiene bajo deformaciones continuas del objeto) y tiene como consecuencia fundamental el que solo haya cinco poliedros regulares.

Además, la simetría entre V y C da lugar a los dualismos entre los poliedros: cubo-octaedro, dodecaedro-icosaedro, y tetraedro-tetraedro.

Algunos la sitúan en el inicio de la topología.

Eso sí: bonita, lo que se dice bonita, no es.

A propósito de esta fórmula: a los amantes de los quebraderos de cabeza les recomiendo el libro de Imre Lakatos Pruebas y refutaciones, cuyo subtítulo podría haber sido: o como perder la confianza en las matemáticas de una vez por todas y para siempre.

Esta fórmula, atribuida a Édouard Lucas, es uno de esos extraordinarios ejemplos en los que objetos matemáticos que en apariencia nada tienen que ver entran en relación: a la izquierda se puede ver el término general de la sucesión de Fibonacci, es decir, la fórmula que proporciona para cada número natural n el término enésimo de la sucesión. Hasta aquí no hay nada raro.

Lo sorprendente es que la letra φ que aparece por dos veces representa, naturalmente, la sección áurea. Casi nada.

Ha sido pensando en la película 2001, una odisea en el espacio de Kubrick y hablar de las dimensiones del monolito (perfecta geometría y proporciones 1-4-9) cuando he recordado esta fórmula.

Podría haberla escrito igualmente , pero he preferido dejarla desarrollada para que no se pasase por alto el hecho de que estamos sumando números impares y que estos resultan ser los saltos que hay que dar para pasar de un cuadrado a otro:

• 0² + 1 = 1²
• 1² + 3 = 2²
• 2² + 5 = 3²
• 3² + 7 = 4²...

Esta expresión, debida a Pitágoras, se visualiza fácilmente de la siguiente manera:

Empezando por el círculo de arriba a la izquierda y añadiendo gnómones (figura tal que al añadirse a otra dada se obtiene otra mayor pero de igual forma que la dada) se ve como al añadir cantidades impares la cantidad total de círculos siempre es un cuadrado perfecto.

Sí, efectivamente: es él, el teorema de Pitágoras: "en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".

El teorema ya era conocido por los babilonios de la época de Hammurabi más de mil años antes de que los griegos le diesen nombre, y lo utilizaron para obtener lo que hoy conocemos como ternas pitagóricas, por ejemplo (3,4,5) o (5,12,13), que son ternas de números naturales que cumplen el teorema.

Si fueron los babilónicos los primeros en descubrir el teorema, ¿por qué lleva el nombre de Pitágoras? Bueno, parece ser que los pitagóricos en lo que sí fueron los primeros fue en demostrar el teorema, cosa que puso tan contento a Pitágoras que, según la leyenda, sacrificó cien bueyes (es decir, realizó una hecatombe) en agradecimiento a los dioses (los pitagóricos eran un poco raros).

La sección áurea es solución de la ecuación .

Si despejamos el término cuadrático y tomamos raíces cuadradas tenemos:.

Si ahora sustituimos la φ del radicando por su valor, que es la raíz completa, y repetimos el proceso indefinidamente, obtendremos la fórmula de la izquierda.

¿Te ha gustado? Pues te aconsejo que veas φ como fracción continua.

La sección áurea es solución de la ecuación.

El término cuadrático se puede considerar como un producto,, y después despejar φ. Resultado:.

Si ahora sustituimos la φ del denominador por su valor, que es la suma, y repetimos el proceso indefinidamente, obtendremos la fracción continua que puedes ver.

¿Te ha gustado? Pues te aconsejo que vuelvas a ver φ como raíz infinita.

Que el irracional y trascendente valor del número π se pueda calcular echando mano únicamente del dos y de productos, divisiones y raíces cuadradas ya resulta sorprendente.

Pero lo más destacable de esta fórmula, debida al matemático francés François Viète, es que en ella, por primera vez, un proceso infinito, simbolizado por esos tres puntos que se ven a la derecha, se indicaba explícitamente en una fórmula matemática. Lo que realmente obtuvo Viète fue

Siendo lo que se ve arriba la forma numérica de lo anterior tras escribir el valor del coseno de pi cuartos y aplicar la fórmula del coseno del ángulo mitad.

Pregunta: ¿cuál de las dos fórmulas crees más informativa?

Normalmente la belleza matemática estriba en la simplicidad y la simetría con las que los elementos se relacionan.

Sin embargo, esta fórmula me atrae como me atraen a veces algunas piezas barrocas por justo lo contrario: surgida, creo, de la mente del matemático hindú Srinivasa Ramanujan, es tal la profusión de cifras y signos que la expresión parece vibrar como si fuese una colonia de insectos.

Me pregunto: ¿de dónde sacó Ramanujan algo así?

Hay muchas formas de obtener π mediante procesos infinitos. Una de mis preferidas es la fórmula de la izquierda, debida al matemático John Wallis. La obtuvo en 1655 como resultado de su búsqueda del área del círculo.

Lo que más llama la atención en ella es su tremenda sencillez: utilizando únicamente números naturales, productos y cocientes obtenemos el irracional y escurridizo número π.

¿No es increíble la fórmula de Euler? No es de extrañar que en cierta ocasión el matemático Benjamin Peirce les dijese a sus alumnos: "Caballeros, esto es sin duda cierto, es absolutamente paradójico, no podemos comprenderlo y no sabemos lo que significa, pero lo hemos demostrado y, por lo tanto, sabemos que debe ser verdad".

En realidad, Euler dijo mucho más con sus famosas identidades, siendo la fórmula de la izquierda el caso particular x = π:

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